【必要条件と十分条件】ごっちゃになる人はこれを読め!東大生が解説!

「必要条件と十分条件ってどっちがどっち?」

「必要条件と十分条件の問題、意味わからん」

「必要条件も十分条件も嫌い!」

こんな疑問や悩みを抱えていませんか?

実際、必要条件と十分条件は論理的思考が必要でとっつきづらいため、苦手な人の多い分野です。

しかし、一度理解してしまえばそれほど難しい分野ではありません。

ぜひこの記事を読んで完璧に理解し、センター試験の得点源にしちゃってください!

 

必要条件・十分条件の定義

まず、必要条件・十分条件の定義を示します。

定義:pならばqが真であるとき(p⇒qが真であるとき)、
pはqであるための十分条件、qはpであるための必要条件である。

この定義を覚えてしまえば問題ないのですが、必要条件・十分条件で難しいのは、

「pならばqは成り立つけど、pが十分条件だっけ?qが十分条件だっけ?」

というようにこんがらがってしまうことです。

そのため、定義を暗記するためのコツが複数編み出されています。

  1. 矢印の向きで覚える
  2. 「必要」「十分」の意味を理解する

それぞれについて解説していきます。

1.矢印の向きで覚える

pならばq を数式で表すと、

p⇒q

となります。

「むー」監修の下克上勉強法
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この矢印「⇒」を利用して、 

定義:pならばqが真であるとき、
pはqであるための十分条件、qはpであるための必要条件である。

より、

「矢印の根元(p)は十分条件」「矢印の先(q)は必要条件」

と覚えることができますね。

また、「十分条件」の「十」と「必要条件」の「要」を使って、

十⇒要(じゅう⇒よう)

としても覚えやすいと思います。

2.「必要」「十分」の意味を理解する

1で紹介した覚え方は確かにとっつきやすいですが、本質的な理解とは言えないのが欠点です。

そこで、「必要」「十分」の意味を論理的に理解するというやり方がオススメです。

必要・十分の論理的意味

必要条件とは、「ある条件を成り立たせるために必要な条件」のことです。

それに対して、十分条件とは「その条件を満たしていればある条件も満たすと十分に言える条件」のことです。

具体的な例として、「哺乳類」と「犬」の関係について考えてみましょう。

<必要条件の例>

「哺乳類であることは、犬であるための必要条件である」

→犬は哺乳類の動物の一種ですから、犬であるという条件を成り立たせるためには絶対に哺乳類であるという条件が必要ですよね。

<十分条件の例>

「犬であることは、哺乳類であるための十分条件である」

→「犬」という種は全ての哺乳類のうちイヌ科の動物のことを指しますから、犬であると分かれば哺乳類であるとわかるには十分ですよね。

集合の概念を使うと・・・?

集合を図式化するために使われる「ベン図」によって犬と哺乳類の関係を表すと、下図のようになります。

ベン図<犬と哺乳類の関係>

「犬であること」の必要条件「哺乳類であること」は、「犬であること」を包含しているのがわかりますね。

逆に、「哺乳類であること」の十分条件「犬であること」は、「哺乳類であること」に包まれています。

このように、必要条件は包み込み、十分条件は包み込まれるという関係にあります。

一般化すると・・・?

ここまでは、「犬」と「哺乳類」を使って具体的に考えてきました。

しかし、実際の試験でこのような問われ方はされません。pとかqとかrとかの文字や数式の形で問われます。

そのため、文字を使って理解すること(=一般化して理解すること)が必要です。

pならばq が成立するということをベン図で表すと下図のようになります。

上図を見れば分かる通り、pであると言えればqであることは十分に言えるので、pはqであるための十分条件です。また、pであるためにはqに含まれていることが必要なので、qはpであるための必要条件ですね。

このように、ベン図を描くとpとqの関係がとてもわかりやすくなります

皆さんも必要条件・十分条件を考えるときはぜひベン図を活用してくださいね!

必要十分条件とは

次に、必要十分条件の説明をします。必要十分条件は必要条件・十分条件を理解していれば簡単にわかります。

必要十分条件の定義

定義:pならばqかつqならばpが真であるとき(p⇔q)、
pはqであるための必要十分条件かつqはpであるための必要十分条件である。

「pならばqかつqならばpが真」という文章を別の文章で言い換えると「pとqは同値である」となります。

pとqが同値であるとは、文字通りpとqが等しいということです。

例えば次のような例が挙げられます→p:x²=4、q:x=±2

これをベン図で表すとこんな感じです↓

上図を見てわかる通り、必要十分条件とはpとqが互いに重なり合っている状態のことなんですね。

そもそも p⇒q が成り立つか?

ここまで、必要条件・十分条件の定義や覚え方を説明してきました。これでもう、p⇒q が成立した時に、pが何条件でqが何条件なのか答えられることでしょう。

しかし実際の試験問題では、 p⇒q が成立するとは教えてくれません。p⇒q あるいは q⇒pが成り立つかどうかも自分で調べる必要があります

p⇒q(あるいはq⇒p)が成り立つか判定するときは、

  • 成り立つ場合:簡単な証明
  • 成り立たない場合:反例

を書けばOKです。

必要条件・十分条件の問題の最大の難所はこの判定にあると言っても過言ではありません。問題演習を重ねて慣れていきましょう。

練習問題を解こう!

必要条件・十分条件の問題は、

  1. p⇒q あるいは q⇒p が成立するか調べる
  2. p⇒q あるいは q⇒p が成立したら、それに応じて条件を答える

という手順で解きます。実際の問題を解きながら、この手順に慣れていきましょう。

練習問題1

<練習問題1> p:x²>16 , q:x>4 の時、pはqのどのような条件であるか答えよ

この例の場合は、p:x²>16 , q:x>4 だけを見てもpとqの関係がわかりません。そのため、pの式をほぐしてあげる必要があります。

<解答例>

p:x²>16 ⇔ x>4 または x<ー4 

よってpはqを包含するので、q⇒p が成立する。

一方、p⇒q は成立しない(反例:x=-5)

q⇒pより、pはqであるための必要条件である。

pとqの関係をベン図で表すとこんな感じです↓

練習問題2

どんどん問題を解いてみましょう!

<練習問題2> p:x=5 , q:xは奇数の時、pはqのどのような条件であるか答えよ

<解答例>

p⇒qは成り立つが、q⇒pは成り立たない(反例:x=3)

よってp⇒qよりpはqであるための十分条件である。

練習問題3

<練習問題3> p:x(x+4)=0 , q:(x+4)(x-2)=0の時、pはqのどのような条件であるか答えよ

<解答例>

p:x(x+4)=0 ⇔ x=0, -4 , q:(x+4)(x-2)=0 ⇔ x=-4, 2より

p⇒qは成立しない(反例:x=0)。

また、q⇒pも成立しない(反例:x=2)。

よってpはqの必要条件でも十分条件でもない。

必要条件と十分条件 まとめ

ここまで、必要条件と十分条件について解説してきました。

この分野は必要条件と十分条件の定義を理解するのに骨が折れますが、それさえ乗り切ればあとはワンパターンな問題を解くだけです。センター試験では必出ですが、きちんと理解すれば安定した得点源になるのでぜひものにしてくださいね。

 

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